Производная, интеграл и предел онлайн с решением

Онлайн-калькулятор находит производную, неопределённый и определённый интеграл и предел функции и показывает решение так, как его записывают в тетради: у каждого шага названо правило и выписана формула. Первообразная проверяется дифференцированием, производная — численно, предел — таблицей значений рядом с точкой, поэтому ответ можно сверить, не веря на слово.

Как найти производную, интеграл или предел

1

Выберите, что найти, и введите функцию — например, x^2 sin x или (1+1/x)^x. Под полем видно, как понята запись.

2

Ответ и проверка появятся сразу; для определённого интеграла задайте пределы, для предела — точку.

3

Под ответом — решение по шагам и график: переключите подробность, скопируйте решение или сохраните PDF.

🔥 Сейчас популярно
🗣️ Озвучка текста ✨ Улучшение видео ✂️ Обрезать аудио ✨ Улучшение аудио 🎭 Модулятор голоса 🎙️ Удаление вокала 🎬 Создать видео из аудио 🎬 Обрезка видео

Введите функцию и разберите решение по правилам

Функция

Понято как:
Примеры:
Тренажёр

Задача выбранной темы с другими числами: решите в тетради и введите ответ. Засчитывается любая верная запись — 2 sin x cos x и sin 2x одно и то же, у первообразной постоянная C не важна.

Запись решения
Не знаешь, что попробовать?
900+ инструментов — открой сюрприз
🎲 Сюрприз

Особенности

Производная до пятого порядка по правилам: сумма, произведение, частное, сложная функция с явной внешней и внутренней функцией, логарифмическое дифференцирование для xˣ; частные производные, неявная функция F(x, y) = 0 и параметрическая x(t), y(t) со второй производной.
Интеграл: таблица, подведение под знак дифференциала, замена переменной, по частям (в том числе возвратный ∫eˣ sin x dx), простейшие дроби, понижение степени, подстановка t = tg(x/2); определённый — по формуле Ньютона — Лейбница, несобственный — через предел.
Предел: 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0·∞, 1^∞ — сокращение, сопряжённое, эквивалентные бесконечно малые, первый и второй замечательные пределы, правило Лопиталя с проверкой применимости, односторонние пределы.
Каждый ответ проверяется до показа: производная — разностной производной в 20 точках, первообразная — дифференцированием, определённый интеграл — квадратурой, предел — значениями рядом с точкой.
Исследование функции: касательная и нормаль, промежутки возрастания и убывания, экстремумы, выпуклость, наибольшее и наименьшее значение на отрезке — с оформлением решения, как в задании ЕГЭ.
Ряд Тейлора и формула Маклорена до 10-й степени: таблица производных в точке и остаток в форме Пеано; запись как в тетради (tg, ctg, arctg, lg), решение копируется текстом и LaTeX, сохраняется в PDF и передаётся ссылкой; тренажёр проверяет ваш ответ.

Что решается

  • Производные: x^2 sin x, (x+1)/(x-1), sin(x^2), e^(2x) cos 3x, x^x, arctg(1/x), производная в точке и до 5-го порядка
  • Неопределённые интегралы: x e^x, 1/(x^2-5x+6), sin^3 x, x/(x^2+1), sqrt(1-x^2), 1/(2+cos x)
  • Определённые и несобственные: от 0 до pi sin x, от 1 до ∞ 1/x^2, от 0 до 1 ln x
  • Пределы: sin(3x)/x при x → 0, (1+1/x)^x при x → ∞, (sqrt(x+1)-1)/x, односторонние 1/x при x → 0
  • Исследование: касательная в точке, экстремумы, наибольшее и наименьшее значение на отрезке
  • Неявные и параметрические: x^2 + y^2 = 25, x^3 + y^3 = 3xy, x = cos t, y = sin t; ряд Тейлора: e^x, ln(1+x), sin x в окрестности точки

Как записывать функцию

Степень — через ^ или ²: x^2, x^(1/3), e^(2x). Умножение можно не писать: 2x, x sin x, (x+1)(x-1). Функции — со скобками или без: sin x, sin 2x = sin(2x), sin^2 x, tg x или tan x, ctg, arcsin, arctg, sh, ch, ln x, lg x, log_2 x, log(2, x), sqrt(x) или √x, cbrt(x), |x|. Константы — pi и e, бесконечность — ∞ или inf. Можно вставить запись целиком: ∫ x^2 dx, ∫_0^1 x^2 dx, d/dx (x^2), lim x→0 sin(x)/x. Другие буквы (a, b, k) считаются постоянными.

Чем это отличается от калькулятора с готовым ответом

Ответ умеет выдать любая система компьютерной алгебры, а оценку ставят за решение: какое правило применено на каждом шаге. Здесь шаги — не пересказ ответа, а цепочка равенств по школьным правилам, где у сложной функции названы внешняя и внутренняя функции, у интегрирования по частям выписаны u и dv, а у предела названа неопределённость и приём её раскрытия. И каждый ответ проверен независимым численным расчётом: если символьный ответ и проверка разошлись, инструмент так и говорит, а не выдаёт непроверенное за верное.

Частые вопросы

Почему в ответе стоит ln|x|, а не ln x?

Потому что 1/x определена и при отрицательных x, а ln x — нет. Производная ln|x| равна 1/x на обеих половинах оси, поэтому первообразная для 1/x — именно ln|x| + C. Если написать ln x, ответ потеряет половину области определения. Там, где выражение под логарифмом заведомо положительно — x² + 1, eˣ + 1, — модуль не пишут, и инструмент его тоже опускает.

Мой ответ отличается от ответа в учебнике. Кто прав?

Возможно, оба. Первообразная определена с точностью до постоянной: sin²x/2 и −cos 2x/4 отличаются ровно на 1/4, и производная у них одна. У производной разные записи тоже равны: 2 sin x cos x = sin 2x. Проверить просто — возьмите производную своего ответа или введите его в тренажёр: там ответы сравниваются значениями, а не буквами.

Когда правило Лопиталя применять нельзя?

Когда нет неопределённости 0/0 или ∞/∞ — тогда правило даёт неверный ответ. И когда предел отношения производных не существует: у (x + sin x)/x при x → ∞ производные дают (1 + cos x)/1, а это колеблется, хотя сам предел равен 1 — его находят делением почленно. Инструмент проверяет оба условия и в таком случае прямо пишет, что правило неприменимо.

Почему интеграл от e^(−x²) не находится?

Его первообразная не выражается через элементарные функции — это доказанный факт (теорема Лиувилля), а не слабость калькулятора. Так же не берутся sin x / x, eˣ/x, 1/ln x, sin x². Для них вводят специальные функции — функцию ошибок erf, интегральный синус Si и другие. Определённый интеграл от такой функции при этом существует и считается численно: например, от −∞ до ∞ интеграл e^(−x²) равен √π.

Как найти наибольшее значение функции на отрезке, как в ЕГЭ?

Найти производную, решить f′(x) = 0, отобрать корни, лежащие на отрезке, и посчитать значения функции на концах отрезка и в этих точках — наибольшее из них и есть ответ. Экстремум внутри отрезка не обязан быть наибольшим значением: максимум может достигаться на конце. Задайте отрезок в блоке «Исследование функции» — решение будет оформлено по этим шагам.

Почему у интеграла ответ с «+ C», а у определённого интеграла — число?

Неопределённый интеграл — это все первообразные сразу, а они отличаются на постоянную: у x² и x² + 5 одна производная 2x. Поэтому к найденной первообразной приписывают + C. В определённом интеграле по формуле Ньютона — Лейбница из значения на верхнем пределе вычитается значение на нижнем, и C сокращается — остаётся число.

💡 Хотите, чтобы мы улучшили этот инструмент лично для вас?

Мы можем! Просто отправьте нам сообщение с вашим пожеланием. Если хотите обсудить детали — оставьте свою почту, и мы с вами свяжемся. Можно анонимно.

Вам может пригодиться

½ Калькулятор дробей 📐 Геометрия с чертежом 🔢 Системы счисления с решением ➗ Столбиком: четыре действия по шагам 🟰 Решение уравнений по шагам ⚗️ Химический калькулятор 🎓 Калькулятор баллов ЕГЭ 📈 Построение графиков функций

Как вы оцениваете этот инструмент?

Спасибо за вашу оценку!
Хотите рассказать подробнее? Оставьте комментарий!
Спасибо! Ваш комментарий появится после модерации.
Кому подходит этот инструмент
🎓 Студенты 📚 Преподаватели
Опубликовано Обновлено Автор: