Перевод чисел в системы счисления с решением

Первое деление на основание даёт остаток, который и есть младшая цифра — единицы. Каждое следующее деление работает с частным, то есть с числом, сдвинутым на разряд вправо, поэтому его остаток — следующая цифра левее. Последнее частное, меньшее основания, — старшая цифра. Поэтому ответ начинается снизу: сначала последнее частное, потом остатки вверх. Если читать сверху, цифры окажутся в обратном порядке — это самая частая ошибка в таких задачах.

Дробь конечна в системе с основанием p только тогда, когда у её знаменателя в несократимой записи нет простых множителей, кроме множителей p. 0,1 — это 1/10, а 10 = 2·5: множитель 5 в двоичной системе не сокращается. Если умножать дробную часть на 2 снова и снова, через четыре шага вернётся 0,2, и дальше цифры 0011 повторяются без конца: 0,1 = 0,0(0011)₂. То же число в десятичной — конечная 0,1, а в шестнадцатеричной — 0,1(9).

Потому что 8 = 2³ и 16 = 2⁴: одна восьмеричная цифра — ровно три двоичных, одна шестнадцатеричная — ровно четыре. Поэтому деление не нужно: двоичное число разбивают на группы от запятой — в целой части влево, в дробной вправо, — крайние группы дополняют нулями и каждую группу заменяют её цифрой. Между 8 и 16 такой связи нет, поэтому путь идёт через двоичную систему.

Инверсия всех разрядов даёт обратный код, а число плюс его обратный код — строка из единиц, то есть 2ʷ − 1. Ещё одна единица даёт ровно 2ʷ, которое в w разрядов не помещается и превращается в ноль. Поэтому дополнительный код x в обычном сложении ведёт себя как −x, и процессор вычитает тем же сумматором, что и складывает. Заодно ноль остаётся один, а диапазон на единицу длиннее в отрицательную сторону: от −128 до 127 на 8 битах.

Во float помещается 24 значащих двоичных разряда: 23 хранятся, а ведущая единица подразумевается. Двоичная запись 0,0(0011) бесконечна, поэтому её обрезают до 24 разрядов и округляют до ближайшего значения, которое помещается, — здесь вверх. Хранимое число — ровно 0,100000001490116119384765625; такая конечная десятичная запись существует потому, что хранимое значение — дробь со степенью двойки в знаменателе. Раздел IEEE 754 показывает это значение и погрешность для любого числа.

Каждое слагаемое переводим в степень двойки: 4²⁰²⁰ = 2⁴⁰⁴⁰. Степень 2ⁿ — это единица и n нулей. Для 2²⁰¹⁷ − 15 записываем 15 как 16 − 1: 2²⁰¹⁷ − 16 = 2²⁰¹⁷ − 2⁴ — это 2013 единиц и 4 нуля, а прибавленная обратно единица превращает последний ноль в единицу. Вместе с единицей от 2⁴⁰⁴⁰ получается 1 + 2013 + 1 = 2015 единиц. Режим «ЕГЭ и ОГЭ» показывает каждый такой шаг и сверяет счёт с точным значением.