График функции: нули, экстремумы и асимптоты
Построитель рисует график по формуле и сразу отвечает на вопросы, ради которых график и строят: где функция равна нулю, где у неё вершины и асимптоты, где пересекаются два графика, на каких промежутках она растёт. Все расчёты идут в браузере, поэтому график перестраивается на каждое нажатие клавиши и на каждое движение ползунка.
Как построить график функции
Введите формулу, например x^2 - 4 или y = kx + b. Enter добавляет новую строку — ещё одну функцию на том же поле.
Читайте ответы под формулами: нажатие на число показывает точку. График двигается перетаскиванием, масштаб — колесом или двумя пальцами.
Для промежутков, касательной и площади откройте «Исследование функции», а результат сохраните в PNG, CSV или ссылкой.
Введите формулу — график сразу покажет нули, вершины и пересечения
Тяните — двигать · колесо или два пальца — масштаб · нажатие — точка
Лист исследования в PDF — график, ответы, промежутки и таблица значений на одной странице для печати — входит в Премиум. Что даёт Премиум
Особенности
Что можно построить
- Параболы и многочлены: x^2 - 4, x^3 - 3x, a(x - m)^2 + n с ползунками
- Дроби с асимптотами: 1/x, (2x + 1)/(x - 3), x + 1/x
- Тригонометрию с подписями оси в долях π: sin x, tg x, 2sin(3x)
- Логарифмы и показательные функции: ln x, 2^x, e^(-x)
- Неравенства и окружности: y > x^2 - 2, x^2 + y^2 = 9
- Полярные и параметрические кривые: r = 2sin(3θ), (cos 3t, sin 2t)
Что понимает поле ввода
Числа с точкой и с запятой, неявное умножение (2x, kx, 3sin(x), (x+1)(x-1)), функции без скобок (sinx, ln x), степени через ^ и надстрочные ², ³, модуль вертикальными чертами. Функции: sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, sinh, cosh, tanh, ln, lg, log(основание, число), sqrt, cbrt, abs, exp, sign, floor, ceil, round, min, max. Константы pi и e, углы в радианах. Кириллические «х» и «у» понимаются как латинские. Таблица CSV пишется с десятичной запятой и точкой с запятой между столбцами — так её сразу открывает русский Excel.
Чем это отличается от обычного построителя
Большинство построителей рисуют кривую и на этом останавливаются: где функция пересекает ось и где у неё вершина, приходится определять на глаз по клеточкам. Здесь эти числа посчитаны и выписаны рядом, вместе с асимптотами, пересечениями и промежутками монотонности, — то есть проверить своё решение задачи «исследуйте функцию» можно, не пересчитывая всё вручную. Параметр в формуле становится ползунком, поэтому задачу «при каких k прямая касается параболы» видно движением руки. А у тангенса и гиперболы нет вертикальной черты, которой в функции не существует.
Частые вопросы
Почему у тангенса нет вертикальной линии в точке разрыва?
Потому что её нет и в самой функции. В точке π/2 тангенс не определён: слева он уходит в плюс бесконечность, справа приходит из минус бесконечности. Построитель, который соединяет эти два куска отрезком, рисует линию, которой не существует, и она выглядит как часть графика. Здесь такой переход распознаётся, перо поднимается, а сама асимптота x = π/2 рисуется тонким пунктиром и выписывается в ответах.
Как сделать ползунок для параметра, например k в y = kx + b?
Просто напишите букву в формуле. Любая одиночная латинская буква, кроме x, y и e, становится параметром: под формулами появится ползунок со значением и границами, которые можно поменять. Кнопка ▶ плавно проводит параметр от минимума к максимуму и обратно, и видно, как меняется график. Значения параметров сохраняются в ссылке, поэтому график открывается у другого человека с теми же k и b.
Как построить окружность, неравенство или полярную кривую?
Так же, как их пишут в учебнике. x^2 + y^2 = 9 — окружность радиуса 3 (для неявных кривых оси берутся в одном масштабе, чтобы окружность не выглядела эллипсом), y > x^2 - 2 — область над параболой, закрашенная цветом функции; для строгого неравенства граница рисуется пунктиром. r = 2sin(3θ) — полярная роза, (cos t, sin t) — параметрическая кривая, у них под строкой можно поменять пределы t.
Насколько точны найденные нули, вершины и асимптоты?
Нули уточняются делением отрезка до шестого знака и проверяются подстановкой, вершины — золотым сечением. Вертикальная асимптота отличается от высокой вершины ростом: у асимптоты значение неограниченно растёт при приближении к точке, у вершины — нет. Всё это ищется на видимом участке, а чётность, период и асимптоты на бесконечности проверяются подстановкой во множество точек. Это численные ответы: они хороши для проверки решения, но не заменяют его запись.
Можно ли писать 2x, kx и sinx без знаков умножения и скобок?
Да. Поле понимает школьную запись: 2x, kx + b, 3sin(x), sinx, (x+1)(x-1), |x|, x². Десятичную запятую тоже: 2,5 читается как 2.5, а в log(2, 8) запятая остаётся разделителем. Если выражение всё же не разобралось, под полем будет сказано, какое имя непонятно и на каком по счёту знаке остановился разбор.
Почему график иногда сплющивается в линию?
Так бывает у функции с асимптотой: одно огромное значение растягивает вертикальную ось, и остальное прижимается к нулю. Поэтому при подборе масштаба по Y крайние два процента значений отбрасываются. Если и это не помогло, выключите кнопку со стрелками «Подбирать масштаб по Y» справа на графике и подвиньте или приблизьте график сами.
Мы можем! Просто отправьте нам сообщение с вашим пожеланием. Если хотите обсудить детали — оставьте свою почту, и мы с вами свяжемся. Можно анонимно.
